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當(dāng)歐氏幾何走到了頭

17 世紀(jì)早期，盡管科學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域有了重大突破，但是數(shù)學(xué)還只有一個(gè)幾何體系，就是根據(jù)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》創(chuàng)立的經(jīng)典平面幾何體系。這個(gè)體系僅適用于由直線和圓組成的圖形。這時(shí)候的代數(shù)，不過是幾何的附屬品。

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然而，隨著人們對科學(xué)的不斷深入探索，許多新的奇形怪狀的圖形相繼出現(xiàn)，這些都沒有辦法通過歐氏幾何理論進(jìn)行分析。比如，為了描述天體運(yùn)行的軌道，天文學(xué)家繪制了橢圓、雙曲線、拋物線，其中拋物線也很好地勾勒出炮彈出膛后的運(yùn)動(dòng)軌跡；在海上航行時(shí)人們常常借助月亮來判定方位，因此人們迫切需要了解月球的運(yùn)行軌跡和規(guī)律；望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡的發(fā)明，使透鏡走進(jìn)了人們的視野，但是人們對透鏡的性質(zhì)和參數(shù)卻完全沒有概念，比如說透鏡表面應(yīng)該是做成什么樣，才能有最好的光線會(huì)聚性能？

要解決這些問題，需要了解曲線的概念和定量分析方法。但是歐幾里得沒有提出任何有關(guān)曲線問題的解決方法，古希臘人在圓錐曲線（平面與圓錐體相交得到的曲線）方面留下的著述也非常少。沒有可以參考的方法，這是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家所面臨的困境，數(shù)學(xué)方法的落后甚至妨礙到了整個(gè)科學(xué)的發(fā)展。

這時(shí)，有一位法國數(shù)學(xué)家率先站了出來，明確地表示了對歐氏幾何那套方法的強(qiáng)烈不滿。歐幾里得的《幾何原本》里提到的每一個(gè)問題，證明過程都需要一個(gè)新穎、奇巧的方法，不但過于抽象，而且多依賴于圖形，甚至需要解題者具有非凡的想象力。古希臘數(shù)學(xué)家雖然在研究數(shù)學(xué)問題上花費(fèi)了大量的時(shí)間，卻從不考慮它們的實(shí)際應(yīng)用問題。他直接抨擊歐氏幾何“成了一門充滿混亂和晦澀、有意用來阻礙思想的記憶，而不是一門有益于思想發(fā)展的藝術(shù)”。

這位數(shù)學(xué)家，就是勒內(nèi)? 笛卡爾（René Descartes）。

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1637 年，他發(fā)表了著作《方法論》。在一篇叫作《幾何學(xué)》的附錄中，他提出了一種不依賴于圖形也更為普遍的方法，這就是將代數(shù)應(yīng)用于幾何，把幾何和代數(shù)中的精華部分結(jié)合起來，互相以長補(bǔ)短，我們稱之為“解析幾何”。

數(shù)學(xué)的“魔鑰匙”

1596 年，笛卡爾出生于法國拉艾的一個(gè)中產(chǎn)階級家庭。8 歲那年，他數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，在接受了 10 年的正規(guī)學(xué)校教育之后，他決心通過直接的身體驗(yàn)來更好地了解世界。他到巴黎體會(huì)了浮華的生活，又回到了拉艾進(jìn)行了一段時(shí)期的沉思。后來，他時(shí)而隨軍參戰(zhàn)，時(shí)而四處旅行，時(shí)而在巴黎醉生夢死。最后，他決心安定下來。在接下的 20 年里，他大部分的時(shí)間和精力都用來著述。

在笛卡爾活躍的一生中，他其實(shí)一直在思考，“我們怎么理解事物，如何才能獲得真理？”盡管真理不會(huì)自己產(chǎn)生，但是對笛卡爾來說似乎有些例外。至少他自己是這樣說的，他的靈感來源于一個(gè)夢境。

1619 年 11 月 10 日，在慶祝圣馬丁節(jié)的盛宴上狂飲之后，笛卡爾做了一個(gè)生動(dòng)的夢。據(jù)笛卡爾所說，“在夢中他正用不帶迷信的科學(xué)眼光，觀察著兇猛的風(fēng)暴，他發(fā)現(xiàn)一旦他看出風(fēng)暴是怎么回事兒，它就不能傷害他了?！边@個(gè)夢境仿佛向他展示了一把“魔鑰匙”，這把鑰匙能打開大自然的寶庫，并使他掌握所有科學(xué)的真正基礎(chǔ)。盡管，笛卡爾并沒有明確說明這把神奇的鑰匙是什么，不過人們通常認(rèn)為這就是把代數(shù)應(yīng)用于幾何的方法，就是解析幾何。

他認(rèn)為，代數(shù)可以很好地彌補(bǔ)幾何在抽象方面的不足，因?yàn)榇鷶?shù)可以直接用抽象的符號和數(shù)字進(jìn)行推理，而且代數(shù)還可以把推理過程變得程式化，從而讓每一個(gè)人在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，不必因?yàn)橄胂罅Φ南拗贫悴磺啊?/p>

于是，一種新的數(shù)學(xué)方法應(yīng)運(yùn)而生，這就是現(xiàn)在眾所周知的解析幾何，也是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

人們把 1619 年 11 月 10 日當(dāng)成解析幾何誕生的日子，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的誕生日。解析幾何理論就像一道光一樣，將蒙在數(shù)學(xué)家眼前的黑暗漸漸驅(qū)散，迎來了數(shù)學(xué)界的嶄新的黎明。

公式和圖形牽手

解析幾何因?yàn)樗暮唵味裢庖俗⒛?。就像?shù)學(xué)中所有真正偉大的東西一樣，解析幾何的基本概念簡單到近乎一目了然的地步。這個(gè)基本概念就是坐標(biāo)系。

幾何中最簡單的圖形是直線，直線很容易理解，也很容易描述，笛卡爾就想辦法用直線來表示曲線。在平面上放置兩條相互垂直的直線，以相交的位置作為原點(diǎn)，指定這兩條直線的方向，畫上刻度，就建立起了笛卡爾平面直角坐標(biāo)系。對于坐標(biāo)系內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)，我們可以用一對數(shù)字來表示（x，y），用正負(fù)號表示它具體位于原點(diǎn)的哪一側(cè)，x 和y 分別表示它在兩個(gè)方向上離開原點(diǎn)的距離。這對數(shù)字，我們稱為“坐標(biāo)”。

比如，一座城市的地圖上，大道從南到北按數(shù)字分成 1 大道、2 大道、3道……街由東向西按數(shù)字分成 1 街、2街、3 街……我們可以把大道和街建成一個(gè)坐標(biāo)系，任何建筑都可以按照靠近哪個(gè)大街—大道交口來定位。比如紐約圖書館的位置位于：5 大道和 41 街的交口。

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通過構(gòu)建坐標(biāo)系，幾何圖形或者說曲線上的任何點(diǎn)，都可以用兩個(gè)數(shù)來表達(dá)了。原本復(fù)雜的幾何問題就轉(zhuǎn)化成了能用公式和數(shù)字來表達(dá)的代數(shù)問題，接下來需要做的就是按照代數(shù)方法來計(jì)算。我們來看一個(gè)典型的例子。

勾股定理說直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果我們把這個(gè)直角三角形放到坐標(biāo)系里，讓一個(gè)銳角頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，銳角相鄰的直角邊與x 軸重合。

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我們把三角形的斜邊長設(shè)為R，兩直角邊分別為 x 和 y，那么對應(yīng)于 R，我們可以畫出不同的x、 y 組成的很多個(gè)三角形，它們都滿足關(guān)系式：

x^2+ y^2 ＝ R^2，

當(dāng)我們把這些三角形的另一個(gè)銳角的頂點(diǎn)連起來時(shí)，就得到了一個(gè)圓，而這個(gè)圓的半徑就是 R。

于是，我們就在代數(shù)方程和幾何圖形之間建立起了聯(lián)系。這就是笛卡爾建立的解析幾何體系，按照這種思想，任何幾何曲線都可以通過建立坐標(biāo)系用一個(gè)方程來表示。反過來，對于一個(gè)已有的方程，數(shù)學(xué)家也可以在坐標(biāo)系內(nèi)畫出它的樣子，一根曲線、一個(gè)曲面，或者是一個(gè)球面，從而進(jìn)一步研究它的性質(zhì)。比如：

y ＝ x^2，

通過在坐標(biāo)系里描點(diǎn)、連線，我們可以得到這個(gè)方程對應(yīng)的曲線，這是一根拋物線。拋物線在科學(xué)、技術(shù)、工程等領(lǐng)域中廣泛出現(xiàn)。

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2 000 多年前，古希臘數(shù)學(xué)家在研究圓錐曲線時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了拋物線，但只有到了解析幾何，才能對拋物線進(jìn)行有實(shí)用價(jià)值的定量研究。

更重要的是，笛卡爾的解析幾何并不限于平面幾何，而是同樣適用于三維甚至多維空間。在三維空間內(nèi)，我們可以在平面坐標(biāo)軸的垂直方向上增加一條“z”軸，并用 3 組數(shù)（x，y，z）來代表空間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)。比如，我們在繪制三維城市地圖時(shí)，只需在考慮建筑物位于大道和大街的位置之余，增加一個(gè)表示建筑物高度的參數(shù)。

在坐標(biāo)系上建筑現(xiàn)代數(shù)學(xué)

為了構(gòu)建一種更好的數(shù)學(xué)方法，笛卡爾把方程和曲線結(jié)合了起來，也把代數(shù)和幾何合二為一，讓代數(shù)不再附庸于幾何。坐標(biāo)系的應(yīng)用不僅把幾何上已有的曲線轉(zhuǎn)化成了方程，也通過構(gòu)建方程定義了一些復(fù)雜的曲線，大大簡化了復(fù)雜曲線的分析過程。雖然曲線千變?nèi)f化，構(gòu)建方程的方法卻始終如一。

在建立了坐標(biāo)系后，平面上的一曲線可以通過兩個(gè)變量的函數(shù)方程來表示，這不僅把代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，而且還把變量、函數(shù)等重要概念密切聯(lián)系了起來，由此也對牛頓的研究有了一定的啟發(fā)。在牛頓發(fā)表的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》中，采用了很多解析幾何的方法，而牛頓的流數(shù)法正是我們現(xiàn)在所說的微積分。

盡管笛卡爾的解析幾何主要解決的是圓錐曲線的問題，但在他的理論基礎(chǔ)上，17、18 世紀(jì)的科學(xué)家還引入了一些其他的新坐標(biāo)系，解決了一些更為復(fù)雜的曲線問題。在那個(gè)科技文明大發(fā)展的時(shí)代，解析幾何的思想解決了天文學(xué)、力學(xué)和技術(shù)中的許多實(shí)際問題。笛卡爾的工作大大提高了數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中的地位，也向全世界證明了數(shù)學(xué)在探索真理過程中發(fā)揮的作用和力量。解析幾何的提出，是一個(gè)時(shí)代結(jié)束的標(biāo)志，為日后微積分的出現(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而后者又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。

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本文轉(zhuǎn)自公眾號：數(shù)學(xué)職業(yè)家



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